Не все знают о личной жизни артиста. Один из мифов связанный с Моргуновым заключался в том, что он был большим любителем женщин и менял их чуть ли не каждый день. О себе актер шутил, что он человек скромный, «несмотря на свою порядочность».

На самом деле, в жизни актера было всего две жены. Первой его стала балерина Большого театра Варвара Рябцева, которая была старше его на 13 лет. Однако, семья у них не сложилось из-за того, что Варвара не могла иметь детей. Второй женой Евгения стала студентка Наталья моложе его на 13 лет. С ней Моргунов познакомился в 1963 году, в ходе телефонного розыгрыша. Наталья рассказывала, что будучи студенткой МФТИ звонила на кафедру, чтобы уточнить время зачета, но ошиблась номером и позвонила Моргунову. Поверив солидному голосу Евгения, она оставила свой номер, чтобы он перезвонил ей после того как посмотрит расписание. Ей по молодости в голову не пришло, что профессору не престало звонить студентке. А Моргунов действительно перезвонил. Спустя два года они поженились, и у пары родилось двое сыновей.

Евгений очень любил спорт и являлся страстным болельщиком ЦСКА, и даже водил дружбу с олимпийским чемпионом Алексеем Парамоновым. Кроме того, Моргунов являлся большим любителем классической музыки, в особенности Чайковского и Мусоргского. Кстати, одной из мечт актера было желание видеть своих детей на большой сцене в качестве великих музыкантов. А о любви актера к розыгрышам и вовсе ходят легенды: артист часто использовал свое актерское удостоверение для шутливых целей. Так он мог бесплатно проехаться в такси и поесть в ресторане, представившись сотрудником КГБ, а в общественном транспорте собирал «дань» с безбилетников, представляясь контролером.

Но были в жизни Моргунова и неудачи. Отличился он неспокойным характером, из-за которого поссорился как и с Вициным и Никулиным, так и с Гайдаем. Причиной этому стала любовь Евгения Александровича к розыгрышам и отторжение любых авторитетов. Не помогло восстановить отношения с друзьями даже вмешательство Сергея Бондарчука – Моргунов не захотел идти на уступки. На тяжелом характере артиста также сказалась и его болезнь: в 25 лет у него обнаружили диабет, из-за которого он стремительно начал набирать вес. Актер перенес два инфаркта и инсульт, а в последние годы жизни практически не ходил из-за болезни ног.